CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Ing. Horacio Hernández Heredia

En esta entrada aprenderemos acerca de los conceptos de concavidad y puntos de inflexión, la técnica para determinar intervalos de concavidad y puntos de inflexión, empleando la derivada como herramienta principal.

CONCEPTOS

Los conceptos motivo de esta entrada se tratan en esta entrada, aclarando que los materiales presentados en esta sección se han tomado de internet. 

Concavidad

Se dice que una función y = f(x) tiene concavidad hacia arriba en el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en un punto x_0 de ese intervalo (a < x_0 < b) queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.

Tomado de: https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/concavidad/

Otra visión y nomenclatura de la concavidad se presenta en la página “CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD” (ello no implica que la curvatura de la función cambie).  De donde se ha tomado lo siguiente:

Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva. 

Tomado de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/concavidad_1.htm

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión, en una función matemática, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. 

Tomado de Wikipedia.

LA CONCAVIDAD Y LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN, UNA ESTRECHA RELACIÓN.

La página siguiente ilustra en forma clara los conceptos estudiados y la relación entre ellos. Destacan especialmente los elementos gráficos que apoyan la comprensión del tema.

Concavidad y convexidad, puntos de inflexión deuna función

Para los usuarios visuales, los videos siguientes ilustran la relación entre puntos de inflexión y la concavidad y fortalecen su interpretación.

Intuición en concavidad y puntos de inflexión

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN - CONCEPTO

Puntos de inflexión de una función

DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN

Las imágenes siguientes muestran gráficamente los intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

Imagen 1

Imagen 2

Procedimiento de obtención de los intervalos de concavidad

En la página siguiente se ilustra el procedimiento de obtención de los intervalos de concavidad y los criterios para nombrarlos.

Concavidady convexidad de una función. Ejercicios resueltos.

Tener cuidado con la nomenclatura de concavidad y convexidad, para evitar confusiones llámela concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo (en la página les llaman concavidad y convexidad respectivamente).

Procedimiento de obtención de los intervalos de concavidad y puntos de inflexión

La página siguiente ilustra de manera clara el procedimiento de obtención de los intervalos de concavidad y puntos de inflexión de una función. Tome en cuenta que una función polinomial es continua en todo el campo de los números reales.

Concavidad yconvexidad y puntos de inflexión

Determinación de los puntos de inflexión (criterio de la segunda derivada)

Los videos siguientes muestran la determinación de los puntos de inflexión de una función empleando el criterio de la segunda derivada.

Puntos de inflexión de una función ejemplo 1 de 3 | 

Cálculo diferencial – Vitual

Puntos de inflexión de una función ejemplo 2 de 3 |

 Cálculo diferencial – Vitual

Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de una función

Los videos siguientes ilustran el procedimiento

Como hallar Intervalos de Concavidad y 

Punto de Inflexión de una función (límites)

Como hallar concavidad, Convexidad 

y Puntos de Inflexión (limites) | Juliana la Profe

Concavidad y puntos de inflexión para principiantes. 

Uso de la segunda derivada | Video 88

Determinación de los puntos de inflexión (criterio de la tercera derivada)

Los videos siguientes muestran en forma didáctica mediante ejemplos, el procedimiento de determinación de los puntos de inflexión mediante el criterio de la tercera derivada.

Puntos de inflexión. Criterio de la tercera derivada.

Cálculo de los puntos de inflexión

EJEMPLOS DESARROLLADOS POR EL PROFESOR

A continuación, se presentan algunos ejemplos del cálculo de intervalos de concavidad y puntos de inflexión desarrollados por el profesor.

Ejemplo 1

Gráfica del ejemplo

Ejemplo 2

  Gráfica del ejemplo

Ejemplo 3

Gráfica del ejemplo

EJERCICIOS PROPUESTOS

Para las siguientes funciones, determinar los intervalos de concavidad, tipo de concavidad y puntos de inflexión (criterio de la tercera derivada). Elaborar con Geogebra la gráfica de la función en el intervalo de significativo del análisis

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