RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES APLICANDO LA DERIVADA

Ing. Horacio Hernández Heredia

En esta entrada se presentarán los pasos necesarios para resolver problemas de optimización mediante derivadas (máximos y mínimos), ejemplos de resolución de problemas de optimización y se propondrán problemas para que se resuelvan por los usuarios del blog.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN MEDIANTE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. LEER TANTAS VECES EL EJERCICIO QUE CASI LO SEPAS DE MEMORIA!!!, ya que son en ocasiones difíciles de interpretar. Cuando el ejercicio de optimización consista en una situación relacionada con la geometría, dibujar la situación, poniendo nombre a cada uno de los elementos que intervienen en el ejercicio.
2. Identificar la función objeto de máximo o mínimo (qué queremos que sea máximo o mínimo: superficie, volumen, distancia, tiempo….)
3. Ponerla en función de una sola variable, utilizando los datos del problema. (ojo que a veces es mejor una variable que la otra a la hora de derivar)
4. Una vez la función objeto de máximo o mínimo está en función de una sola variable, derivarla e igualarla a cero. Al resolver esta ecuación tenemos los posibles Máximos o mínimos.
5. Confirmar el máximo o mínimo:

Si la segunda derivada es fácil de calcular, sustituir los posibles máximos o mínimos en la segunda derivada (Recordar que si al sustituir es negativa tenemos un Máximo y si positiva, un mínimo)

Si es complicado el cálculo de la segunda, utilizar la primera derivada, sustituyendo un punto por 

encima y otro por debajo del posible máximo o mínimo y recordar que antes de un máximo la función es creciente (1ª derivada positiva) y después decreciente (1ª derivada negativa). En un mínimo antes es exactamente lo contrario: decreciente primero y después creciente.

Procedimiento tomado de la página:

Indicacionesy Pasos para resolver Problemas de Optimización, en Aplicaciones de la Derivadapara Matemáticas de Bachillerato

EJEMPLOS DE OPTIMIZACIÓN RESUELTOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA DETERMINACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

La página “Optimización de funciones” propone su propio procedimiento para resolver problemas de optimización, además de desarrollar la solución de algunos ejemplos de forma muy ilustrativa.

Optimización de funciones

Los videos siguientes muestran algunos ejemplos de resolución de problemas de optimización mediante la aplicación de máximos y mínimos.

Problema de optimización resuelto usando derivadas.

Optimización

1. Máximos y mínimos locales. Aplicación de la derivada

Dimensiones de un cilindro para que el material sea mínimo 

| La Prof Lina M3

Problema 1 de OPTIMIZACIÓN

EJEMPLO DESARROLLADO POR EL PROFESOR

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El hotel “Relaxate”, ubicado en los suburbios de la ciudad de Morelia, en el estado de Michoacán, cuenta con 33 habitaciones. Alquilando a $650 cada habitación, conseguiría alquilarlas todas, y por cada $30 que aumente el alquiler, alquilaría 1 menos. Si cada habitación alquilada requiere $200 de gastos, ¿en cuánto debe alquilar cada habitación para obtener el máximo beneficio? 
2. Obtener dos números tales que, la suma de uno de ellos con el doble del cuadrado del otro sea igual a 7,776 y el producto de ambos sea máximo.

PROBLEMA PROPUESTO

Corta un pedazo de hilo, mecate o cuerda de cualquier material. Mídelo y forma con él tres rectángulos diferentes, calcula el área de cada rectángulo formado. Determina aplicando lo aprendido en el curso de cálculo diferencial, las dimensiones del rectángulo de mayor área que puedes formar. Forma físicamente el rectángulo de mayor área posible, el que resulta de aplicar tus conocimientos de cálculo diferencial.

El proceso se debe documentar en un archivo pdf con la siguiente estructura:

1. Portada
2. Enunciado del problema
3. Descripción verbal del material a utilizar, incluir imagen o imágenes, medida.
4. Descripción verbal de los 3 rectángulos formados, incluir imágenes, medidas y cálculo de las áreas.
5. Determinación del rectángulo de área máximo que se puede formar (incluir procedimiento de cálculo e imágenes del rectángulo)
6. Análisis de las ventajas que el cálculo diferencial  aporta en este tipo de problemas.
7. Conclusiones

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